Le diagonali dei poliedri regolari

Quanto misurano le diagonali dei poliedri regolari?

La domanda prende spunto da una mail del prof. Giovanni Vincenzi dell'università di Salerno e da suggerimenti ricevuti dalle prof. Maria Dedò e Maria Angela Chimetto.

 ICOSAEDRO

Dato un icosaedro regolare di lato = 1, la lunghezza delle sue diagonali può essere calcolata a partire da queste considerazioni:

1)

I vertici A e C sono opposti, AC è asse di simmetria (rotazione di 144°); gli altri 10 vertici si distribuiscono su due piani paralleli, alfa e beta, e sono (ciascun gruppo) equidistanti da A (e simmetricamente da C).

2)

I vertici dell'icosaedro sono vertici di tre rettangoli aurei 'incastrati' ortogonalmente (costruzione di Luca Pacioli): le diagonali dell'icosaedro sono dunque i lati del rettangolo aureo e la sua diagonale.

Il lato 'corto' del rettangolo aureo (diagonale minore nell'icosaedro) è , il lato maggiore è (diagonale intermedia) e infine AC (diagonale maggiore) è 

DODECAEDRO

Le osservazioni sul dodecaedro, che permettono di calcolare la lunghezza delle diagonali con l=1, sono le seguenti:

1)

A e C sono due vertici diametralmente opposti; gli altri 18 vertici si dividono in 4 piani (alfa, beta, gamma e delta) paralleli. Per 'ragioni di simmetria, i vertici dello stesso piano hanno la stessa distanza dal vertice A (simmetricamente, da C). Sono lati i segmenti da A ai vertici in alfa (da C ai vertici in delta).

2)

Nel dodecaedro si può inscrivere un cubo che ha due vertici opposti in A e in C. Gli altri 6 vertici del cubo si distribuiscono 3 sul piano beta e 3 sul piano gamma. Le diagonali del dodecaedro hanno quindi lunghezze (A A1) diagonale del pentagono faccia del dodecaedro, (A A2) diagonale del quadrato A A1 A2 A3 (faccia del cubo)  .

La diagonale del dodecaedro AC, che coincide con quella del cubo di lato A A1, misura .      Manca la lunghezza della diagonale da A a un vertice in delta, per la quale si usa l'osservazione 3).

3)

I lati AD//BC del dodecaedro sono paralleli, il piano ABCD è di simmetria del dodecaedro. Le diagonali AC, DB del dodecaedro sono uguali: ABCD è un rettangolo. Si conoscono AC e CB e quindi si ricava   

 

Costruzione P33

Costruzione di un poligono di 33 lati quasi regolare.

L'errore dell'angolo DAF, rispetto all'angolo al centro nel poligono regolare di 33 lati, è sull'ordine del centesimo di grado.