Questioni di divisibilità

Come si fa a vedere se un numero, scritto in base 10, è divisibile per 4?

La maestra dice: si moltiplicano le decine per 2 e si sommano le unità. Se il risultato si può dividere per 4 allora ...

E quando è divisibile per 8, per 16 ...?

 

Le diagonali dei poliedri regolari

Quanto misurano le diagonali dei poliedri regolari?

La domanda prende spunto da una mail del prof. Giovanni Vincenzi dell'università di Salerno e da suggerimenti ricevuti dalle prof. Maria Dedò e Maria Angela Chimetto.

 ICOSAEDRO

Dato un icosaedro regolare di lato = 1, la lunghezza delle sue diagonali può essere calcolata a partire da queste considerazioni:

1)

I vertici A e C sono opposti, AC è asse di simmetria (rotazione di 144°); gli altri 10 vertici si distribuiscono su due piani paralleli, alfa e beta, e sono (ciascun gruppo) equidistanti da A (e simmetricamente da C).

2)

I vertici dell'icosaedro sono vertici di tre rettangoli aurei 'incastrati' ortogonalmente (costruzione di Luca Pacioli): le diagonali dell'icosaedro sono dunque i lati del rettangolo aureo e la sua diagonale.

Il lato 'corto' del rettangolo aureo (diagonale minore nell'icosaedro) è , il lato maggiore è (diagonale intermedia) e infine AC (diagonale maggiore) è 

DODECAEDRO

Le osservazioni sul dodecaedro, che permettono di calcolare la lunghezza delle diagonali con l=1, sono le seguenti:

1)

A e C sono due vertici diametralmente opposti; gli altri 18 vertici si dividono in 4 piani (alfa, beta, gamma e delta) paralleli. Per 'ragioni di simmetria, i vertici dello stesso piano hanno la stessa distanza dal vertice A (simmetricamente, da C). Sono lati i segmenti da A ai vertici in alfa (da C ai vertici in delta).

2)

Nel dodecaedro si può inscrivere un cubo che ha due vertici opposti in A e in C. Gli altri 6 vertici del cubo si distribuiscono 3 sul piano beta e 3 sul piano gamma. Le diagonali del dodecaedro hanno quindi lunghezze (A A1) diagonale del pentagono faccia del dodecaedro, (A A2) diagonale del quadrato A A1 A2 A3 (faccia del cubo)  .

La diagonale del dodecaedro AC, che coincide con quella del cubo di lato A A1, misura .      Manca la lunghezza della diagonale da A a un vertice in delta, per la quale si usa l'osservazione 3).

3)

I lati AD//BC del dodecaedro sono paralleli, il piano ABCD è di simmetria del dodecaedro. Le diagonali AC, DB del dodecaedro sono uguali: ABCD è un rettangolo. Si conoscono AC e CB e quindi si ricava   

 

Un gioco per Natale

Pago un euro per partecipare al gioco. Prendo 10 carte cuori (da 1 a 10), le mescolo e le scopro disponendole in ordine una dopo l'altra. Vinco un euro per ogni carta che viene a trovarsi nella fila nella posizione del suo valore.

Ad esempio, se la sequenza è:   3, 2, 5, 9, 4, 6, 8, 10, 7   vinco due euro.

In media, ci guadagno o ci perdo?

E se gioco con 5 carte? Con 13 carte?  Con quante carte il gioco è equo?

 

Prendo un mazzo di 40 carte (10 x 4 semi). Le mescolo e faccio 4 mucchietti. 

Punto un euro su uno dei quattro mucchietti. Scopro le carte in ordine. Vinco 1 euro per ogni coincidenza posto-valore (senza badare al segno). Il gioco è equo?

Costruzione P33

Costruzione di un poligono di 33 lati quasi regolare.

L'errore dell'angolo DAF, rispetto all'angolo al centro nel poligono regolare di 33 lati, è sull'ordine del centesimo di grado.